(1)固定定規が円形の場合で円の内側に歯車がついている場合は、ハイポサイクロイド（Ｃ＝Ｂの場合）の類似曲線が描けます。
なお、アステロイド（星形曲線）はハイポサイクロイドの１つにつけられた名称です。

例１．A=9.6 B=6.0 C=4.0・・・８個の頂点ができます。
例２．A=9.6 B=5.6 C=3.0・・・１２個の頂点ができます。
例３．A=9.6 B=4.5 C=3.0・・・３２個の頂点ができます。

(2)固定定規が円形の場合で円の外側に歯車がついている場合は、エピサイクロイド（C=Bの場合）の類似曲線が描けます。
例４．A=4.5 B=1.2 C=1.2

参考．「秋山仁」先生は、ハイポサイクロイドとエピサイクロイドをまとめて「円サイクロイド」とよばれています。

（3）パソコンでは、数式で位置計算するため、可動定規の延長上に穴があるとした場合の円トロコイド（Ｃ＞Ｂの場合）も描けるようになります。
例５．A=4.0 B=1.5 C=2.2

なお、固定定規が直線の場合は、サイクロイド（Ｃ＝Ｂの場合）の類似曲線が描けます。（GIFアニメーション作成例へ）
　

２．スピログラフの作成について

上で述べたように、実在の定規では、描けない曲線もパソコンで描けるようになります。
ここでは、無償公開している「図作Pro.exe」を用いてスピログラフを作成する方法を紹介します。　

A．「静止画像」の場合は、
１．プログラムを起動し、「新規作成」を指定します。
２．アイコンパネルの「f(x)」を押して、関数一覧を表示し、最下行にあるスピロデザイン（外側）を指定します。
　　「スピロデザイン（内側）」は、その上段にあります。

３．アイコンパネル「係」を押して係数A,B,Cを指定します。
なお、アイコン「！」を押して、式と係数を表示しておき、変更したい係数の上でマウスをクリックしても係数を増減させながら描画できます。
ただし、この場合は、追加モードになるため、一度ファイルに名前をつけて保存し、再度呼び出すと「上書き」モードになります。　

４．グラフ作成アイコンを押します。

５．A,B,CおよびT1,T2を変更すると任意のスピログラフが描画できます。

６．編集モードを提示モードに変更して、線の色や太さ、位置等を変更します。

７．画像として「ファイル保存」するか、クリップボードにコピーして、「ペイントソフト」に呼び込み加工します。

B．「動画の場合」
スピログラフ描画の様子を動画で作成するには、さらに円A、円B、点Ｃ等を追加して、回転移動の設定をします。
１．円の中心を正確にとるために「係」ボタンで係数一覧を表示して「マウス精度」を0.5にしておきます。
　これで、マウスの位置が0.5刻みの位置を指定するようになります。

２．円周上の点をとり、アイコンパネルの「●」を押すと円になります。

３．回転の設定は、編集モードでメニューの「軌跡」−「38：AからBをC中心に回転させる」でします。
　（この場合のAは、始点、Bは終点、Cは回転の中心です。）
回転の設定を後から変更するには、ニューの「可動」−「可動点の指定・変更」で表示される設定画面を使用します。
この画面は、アイコンパネルの「自」をクリックしたときにも最初だけ「確認」のために表示されます。

４．円Ｂ全体は、Ｂ点を中心にしてφ回転すると指定します。
円Aの半径a、円Bの半径ｂとすると、接触している部分の回転距離が同じなので、aθ＝ｂφとなるようにきめます。

５．中心B点は、A点を中心にθ回転すると指定します。

参考．「図作Pro」では、「回転中心が後から回転するとき、それより前に回転した図形を回転中心が回転する分だけ追加回転」します。
これで円B全体は、点Bについて（θ＋φ）回転します。

６．「自」ボタンを押して、設定画面で設定を確認（変更）して「OK」を押します。

「編集モード」で「画像保存」にチエックして、「提示モード」に戻り、手動回転させていきます。
「．BMP」ファイルとして自動的に連番をつけて保存し、「GIFアニメーション」の原画ができます。

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３．GIFアニメーション作成例

　
「インターネットエクスプローラ5.5」でGIFアニメーションが不安定になる場合、「ネットスケープ」で表示すると安定して表示できます。

名　　称	解　　　説	ファイル名
サイクロイド（51KB）	直線上をすべることなく回転する円周上の定点Ｐの軌跡を図示します。	ani_sycroido.gif
トロコイド（39KB）	直線上をすべることなく回転する円の延長上の定点Ｐの軌跡を図示します。	ani_trocoido.gif
スピロデザイン（内側）138KB	A：固定円(半径a=7)、B：可動円(半径b=5)、C=4の場合を図示します。	ani_spiro_in.gif
スピロデザイン（外側）40KB	A：固定円(半径a=2.5)、B：可動円(半径b=1)、C＝2の場合を図示します。	ani_spiro_out.gif
10円玉をまわる10円玉（52KB）	半径が等しい２つの円の一方がすべらずに回転する様子を図示します。	ani_10en_sycroido.gif
大円の内側をまわる小円（40KB）	半径４の円の内周を半径１の小円が１周する様子を図示します。	ani_en_in_sycroido.gif
大円の外側をまわる小円（30KB）	半径４の円の外周を半径１の小円が１周する様子を図示します。	ani_en_out_sycroido.gif

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